Boltzmann Denklemi: Termodinamik Sistemlerin Dinamiği

Şubat 10, 2024 Deha Kaykı 13 min read

“Boltzmann Denklemi” veya diğer adıyla “Boltzmann Taşıma Denklemi”, termodinamikte oldukça önemli olan bir matematiksel ifadedir. Genellikle gazların istatistiksel mekaniği alanında kullanılmaktadır. Bu denklem, Ludwig Boltzmann tarafından 1872 yılında geliştirilmiş ve mikroskobik düzeyde parçacıkların davranışını anlamak için kullanılmıştır.

Bu makalede Ludwig Boltzmann’ın geliştirdiği önemli bir termodinamik denklem olan Boltzmann denklemi, bu denklemin ispatı ve ortaya çıkışı gibi konular ele alınacaktır. Bu konuda daha fazla içeriğimize fizik kategorimizi ziyaret ederek ulaşabilirsiniz.

İçindekiler

Boltzmann Denklemi ve Genel Özellikleri

Boltzmann Denklemi, özellikle uzaydaki sıcaklık gradyanlarının neden olduğu enerji transferini -yani ısının daha sıcak bölgelerden daha soğuk bölgelere transferini- incelemeyi olanaklı kılar. Denklem, özellikle sıvılarda parçacıkların rastgele fakat taraflı taşınması sonucu ortaya çıkan akışkanların davranışını modellememizi sağlar. Boltzmann Denklemi’nin temel prensibi, her bir parçacığın ayrı ayrı izlenmesi yerine parçacıkların olasılık dağılımı aracılığıyla modellemesine dayanır. Bu sayede denklem, mikroskobik düzeydeki parçacıkların hareketini açıklamak yerine makroskobik düzeydeki olasılıkların kullanılmasına salık verir. Denklem; klasik fizikte bir sistemdeki tüm parçacıkların konum ve momentumlarını ayrı ayrı inceleyebilmemizde, daha kompleks sistemlerde pratik bir metot olmamaktadır. İşte, bu kompleks sistemlerle karşı karşıya kalındığında Boltzmann Denklemi’nin kullanımı avantajlı hale gelmektedir.

Parçacıkların uzayda belirli bir bölge kapsama olasılıkları matematiksel bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ortaya koymaktadır. Ortaya konan fonksiyon, uzayın belirli bir noktaları ve belirli bir momentumlarında parçacıkların bulunma olasılığını göstermektedir. Denklem bu olasılık yoğunluğunu ve fonksiyonunun zaman içindeki değişimini tanımlamaktadır. Böylece sistemdeki parçacıkların hareketini modellenmektedir. Boltzmann Denklemiyse bu olasılık yoğunluğunu makroskobik büyüklükte açıklamaktadır. Örnek olarak bir termodinamik sistemin iç enerjisi, genellikle sistem içindeki parçacıkların kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplamı olan mekanik enerjiye karşılık gelmektedir. Bu iç enerji, her bir parçacığın enerjisinin olasılık dağılımı ile ağırlıklı bir toplamıyla oluşmaktadır.

Faz Uzayı ve Olasılık Yoğunluğu Fonksiyonunun Matematiksel Modellemesi

Faz uzayı, bir termodinamik sistemin tüm olası konum ve momentumlarını bir arada bulundurmaktadır. Matematiksel olarak bu uzay, her biri üç boyutlu olan konum (r) ve momentum (p) vektörlerinin kümesidir. Sonuç olarak bu uzayda x, y, z konum koordinatları ve $p_x$, $p_y$, $p_z$ momentum bileşenleri olmak üzere toplam altı koordinat bulunmaktadır.

Faz uzayındaki bir nokta, sistemin belirli bir anındaki konum ve momentumunun tam manasıyla gösterimini içermektedir. Bu nokta, altı koordinatla tanımlanır. Bunlar:

$\style{font-family:’Times New Roman’}{(r,p)\;=\;(x,y,z,p_x,p_y,p_z)\;} $

Diferansiyel Hacim Elemanı

Her bir koordinat zaman (t ) parametresine bağımlı olarak değişmektedir. Bunlara ek olarak faz uzayındaki küçük bir bölgeyi temsil eden bölgeye diferansiyel hacim elemanı denmektedir. Bu bölge, uzaydaki konum ve momentum değerlerinin spesifik olarak tanımlanan bir aralığını ifade etmektedir. Diferansiyel hacim elemanı şu şekilde ifade edilir:

$d^3rd^3p$

Bu ifade, konum uzayındaki $d^{3} r$ ve $d^{3} p$ momentum uzayındaki diferansiyel hacim elemanlarının çarpımını temsil etmektedir. Burada, $d^{3} r$ konum vektörü ve $d^{3} p$ momentum vektörü içindeki hacim elemanları olarak tanımlanmaktadır. Yani bu noktalar, faz uzayındaki bir noktayı belirtmek için gereken küçük hacmi ifade etmektedir.

f(r,p,t) olarak tanımlanan fonksiyon, N molekülünün t zamanında birim faz-uzay hacmi başına olasılığı veya birim uzunluk küpü/birim momentum küpü başına olasılık yoğunluğunu ifade etmektedir. f(r,p,t) içerisinde r konumu, p momentumu, t ise zamanı temsil eden girdilerdir. Yani f(r,p,t) fonksiyonu, bu hacim ve momentum aralığındaki birim hacim veya birim momentum başına düşen ortalama parçacık sayısını çıktı olarak vermektedir.

$d^{3} r$ ve $d^{3} p$ hacim elemanları içerisindeki molekül sayısını temsil etmektedir. Konum uzayı ve momentum uzayı üzerinde birer integral alınarak bir bölgedeki toplam parçacık sayısını hesaplanabilmektedir. Bu ifade şu şekildedir:

$\int_{v\;}d^3r\;\int_{\triangle p\;}d^3p\;f(r,p,t)$

Sonuç olarak bu fonksiyon bir olasılık yoğunluğu fonksiyonu olarak karşımıza çıkmaktadır ve fonksiyon genel olarak şöyle tanımlanır:

$dN=\;f(r,p,t)\;d^3rd^3p$

Tüm Parçacıkların Faz Uzayı İntegrasyonu

Faz uzayındaki her bir parçacık tek bir parçacık olarak kabul edilmektedir bu nedenle sistemin sadece bir konum (r) ve bir momentum (p) içerdiği varsayılmaktadır. Buna bağlı olarak da sistemin tüm parçacıklarının konum ve momentumlarını temsil etmek için bir dizi N tane farklı parçacık vardır. Eğer bu parçacıkların her biri aynı boyuttaysa o zaman kütlelerinin $(m)$ de aynı olması gerekmektedir.

Bu noktada her bir parçacığın konum ve momentumlarını sembolize eden $r_{i}$ ve $p_{i}$ vektörlerini kullanarak bir olasılık yoğunluk fonksiyonu $f (r_{1}, p_{1}, t)$ yazmak mümkündür. Burada $i$ alt indeksi, belirli bir parçacığı temsil etmektedir. Bu N adet üç boyutlu konum ve momentum integrasyonu içerir ve toplamda altı katlı bir integraldir. Bu integral, sistemin tüm parçacıklarının faz uzayı üzerindeki olasılıklarını toplamaktadır. Bu altı katlı integral şu şekildedir:

Boltzmann Denklemi'nde 6 katlı integralin bir gösterimi — 6 katlı integralin bir gösterimi (Görsel Kaynağı: Wikipedia)

“Boltzmann Denklemi”nin Genel Hali

Boltzmann denklemi, sistemdeki olasılık dağılımını zamanla değişen denge durumuna getiren bir diferansiyel denklem sistemidir. Denklemi şöyle ifade edilebilir:

$\style{font-family:stix}{\frac{\partial f}{\partial t}+v.\nabla f\;=\;\frac{J_{coll}}m}$

Sistemde f(r,p,t) faz uzayındaki olasılık yoğunluğunu işaret etmektedir. $v$ parçacık hızını $m$ ise kütleyi temsil etmektedir. $ J_{coll} $ ise çarpışma operatörüdür. Yani parçacıklar arasındaki değişimleri sembolize etmektedir.

Boltzmann Denklemi'nin genel beyanı — Denklemin genel beyanı.

“Boltzmann Denklemi”nin Bir Sonucu: Boltzmann $H$-Teoremi

Bu noktada Boltzmann’ın $H$

Genel olarak teorem şu şekilde açıklanmaktadır:

$\style{font-family:stix}{\frac{\operatorname dS}{dt}\geq0}$

$S$ sistemin entropisini temsil ederken, $t$ zamanı temsil etmektedir. Denkleme göre bir sistemin entropisi zamanla artmalıdır. Yani bir diğer ifadeyle bir sistem, doğası gereği düzensizleşmelidir. Denklem bu noktada termodinamiğin ikinci yasası ile de uyumlu hale gelmektedir. Bu denklem sistemin mikroskobik düzeyde hareketlerinle elde edilir. $H$-teoremine göre sistemler denge durumuna gelmeye eğilimlidirler. Bu denge durumu, sistemdeki entropinin artış hızının sıfıra yaklaşması ve sonunda durması ile sağlanır.

$ H $ değeri, zamandaki enerji dağılımı fonksiyonu olan $ \style{font-family:stix}{f(E,t)} $ fonksiyonundan belirlenir. $ \style{font-family:stix}{r\;+\;\bigtriangleup\;r\;=\;r\;+\;\frac{p\;⋅\;\bigtriangleup\;t}m} $ ifadesi ile $ \style{font-family:stix}{p\;+\;\bigtriangleup\;p\;=\;p\;+\;F\;⋅\;\bigtriangleup\;t} $ arasındaki kinetik enerjiye sahip molekülleri ifade etmektedir. Bu ifade integral ile tanımlanır ve tanım şöyledir:

Boltzmann Denklemi: H fonksiyon gösterimi

İdeal gaz durumunda -yani parçacıkların Maxwell-Boltzmann dağılımına sahip olduğu durumda- $ H $ fonksiyonu, minimum değerini almaktadır. Bu, sistemin belirli bir enerji dağılımına doğru en dengeli ve en olası durumlarını ortaya koymaktadır. Ancak ideal gaz molekülleri farklı şekilde dağıldıysa değeri daha yüksek olmaktadır. Bu noktada sistemdeki enerji homojen olarak dağılmaz; dolayısıyla da entropi artırmaktadır. Sistemde moleküller arası çarpışmalar yaşandığı için denklem Maxwell-Boltzmann dağılımına doğru zamanla evrilmektedir. Sonuç olarak Boltzmann $ H $-teoremi, termodinamik dengeye ulaşmak için bir sistemin doğal olarak eğilimli olduğunu ve bu dengeye ulaşmak için entropinin arttığını işaret etmektedir.

Çarpışmalar — Boltzmann’ın temel varsayımı, gaz moleküllerinin çarpışmalarının tamamen rastgele ve bağımsız olduğudur. Bu varsayım altında, gazın termodinamik dengede Maxwell hız dağılımına yaklaşacağını göstermiştir. Bu animasyonda gaz moleküllerinin yaptığı rastgele çarpışmalar gösterilmektedir. (Görsel Kaynağı: Wikipe dia)

Denklemin Bir Kuvvet Altındayken İncelenmesi

Eğer bir F kuvveti sistemdeki tüm parçacıklara etki ederse (bu kuvvet parçacık kaynaklı değildir) o zaman $t + ∆ t$ anında konum ve momentumlar şu şekilde ifade edilir:

$\style{font-family:stix}{r+\triangle r=r+\frac{p\cdot\triangle t}m\\p+\triangle p=p+F\cdot\triangle t}$

Bir sonraki adım, bu değişiklikleri kullanarak olasılık yoğunluk fonksiyonu için gerekli koşulları oluşturmaktır. Parçacıkların çarpışmalarının olmadığı durumlarda olasılık yoğunluk fonksiyonu için Liouville teoremi kullanılmaktadır. Liouville teoremi, Hamilton mekaniğinde bulunan bir teoremdir. Hamilton dinamiği altında bir noktanın faz uzayında yoğunluğunun zaman içinde değişmediğini yani hacmin sabit kaldığını ifade etmektedir. Böylelikle olasılık yoğunluğu fonksiyonun zaman içinde nasıl değiştiği hesaplanabilmektedir. Liouville teoremi şu şekildedir:

$\style{font-family:stix}{\frac{\partial f}{\partial t}+\nabla\cdot(v\cdot f)=0}$

Bu noktada Liouville Denklemi’ne daha önce tanımladığımız olasılık yoğunluğunu oturttuğumuzda yukarıdaki cebirsel ifade elde edilmektedir. Bu durum çarpışma yaşanmadığı durumlarda olasılık yoğunluğu fonksiyonunu tanımlamaktadır.

$\style{font-family:stix}{f(r+\frac Pm\triangle t,p+F\triangle t,t+\triangle t)d^3rd^3p=f(r,p,t)d^3rd^3p}$

3 Adımda Denklemin Çözümü

Liouville teoremi, sonuç olarak Hamilton denklemleri altındayken bir faz uzayı hacminin sabit kalacağını göstermektedir. Ancak çarpışmalar meydana gelirse parçacık yoğunluğu zamanla değişecek ve faz uzayında parçacık dağılımı etkilenmektedir. Bu noktada Liouville teoremi, çarpışmaların sonucunda değişen parçacık yoğunluğunun hesaplanmasını sağlamaktadır (1).

Sonrasında $∆ t \to 0$ ve $∆ f \to 0$ limtileri alınmaktadır. Bu ifade, denklemindeki değişimin sonsuza yaklaşan küçük bir zaman aralığında ve sonsuza yaklaşan küçük bir değişimde nasıl davrandığını göstermektedir.

$\style{font-family:stix}{\lim_{\triangle t\rightarrow0}\frac{\triangle f}{\triangle t}=-v\cdot\nabla f+\frac{J_{coll}}m}$

Burada $∆ t \to 0$ ve $∆ f \to 0$ zaman aralığını sıfıra yaklaştırır. Son olarak bu ifade, türev operatörü ile ifade edilen bir kısmi türev denklemine dönüşmektedir.

Son bölümde F’nin toplam diferansiyeli alınmaktadır. Ayrıca 3. bölümde $\nabla$ gradyan (bir skaler alanın yönünü ve büyüklüğünü belirlemek için kullanılan vektör operatörüdür) operatörüdür.

Boltzmann Denklemi: Kartezyen birim vektörleri

$\nabla$ ‘nin momentum analoğunun kısaltmasıdır. Üst denklemde ise kartezyen birim vektörleri görülmektedir.

Bu denkleme Vlasov Denklem’i de denmektedir. Vlasov Denklemi, bazı durumlarda çarpışmasız Boltzmann denkleminin yerine de kullanılmaktadır. Ancak parçacıklar arasındaki etkileşimleri daha genel olarak ele almaktadır. Sağ taraftaki terim, parçacıklar arasındaki çarpışmaları modellemek adına takviye edilmektedir. Terim, çarpışmalara ilişkin bilgileri kapsayan bir terimdir. Bu denklem, Maxwell-Boltzmann, Fermi-Dirac veya Bose-Einstein gibi belirli istatistiklere dayanmaktadır. Ancak, Vlasov denkleminde eksiklikler vardır çünkü çarpışma terimi belirsizdir. Bu nedenle, pratik uygulamalarda, çarpışma terimini doğrudan hesaplamak yerine bazı kestirme yaklaşımlar kullanılabilmektedir.

Moleküler Kaos Varsayımı

Stosszahlansatz veya moleküler kaos varsayımı, Ludwig Boltzmann tarafından geliştirilmiş bir kavramdır. Bu varsayım, gaz moleküllerinin çarpışmalarının bağımsız olarak rastgele şekilde gerçekleştiğini dolayısıyla da çarpışmalardan önce moleküller arasında herhangi bir ilişki olmadığını öne sürmektedir. Bu varsayım altında çarpışma terimi, tek parçacık dağılım fonksiyonlarının çarpımı üzerinde bir momentum-uzay integrali olarak ifade edilebilmektedir. Bu integral, çarpışmadan önce parçacıklar arasındaki momentum dağılımını göstererek çarpışmaların sonucunda bu momentumun nasıl değiştiğini ortaya koymaktadır. Bu integral şu şekilde yazılabilir:

Bu bağlamda yukarıdaki integralde çarpışma öncesi ve sonrası momentumlar arasındaki durum çarpışmanın türüne bağlı olmaktadır. Çarpışma öncesi ilk momentumlar $p_{A}$ ve $p_{B}$ şeklinde gösterilirken çarpışma sonrası momentumlarsa $p_{A ‘}$ ve $p_{B ‘}$ şeklinde gösterilmektedir.

Bu noktada Bhatnagar-Gross-Krook (BGK) modeli, karmaşık çarpışma terimlerini basitleştirmek ve Boltzmann denkleminin çözümünü kolaylaştırmak için geliştirilen bir yaklaşım olarak karşımıza çıkmaktadır. BGK modelindeki temel varsayım, moleküler çarpışmaların etkisinin Maxwell denge dağılım fonksiyonuna geri döndürmek olduğu ve bu geri dönüşün hızının moleküler çarpışma frekansına bağlı olduğudur. BGK modellemesi şöyledir:

$\style{font-family:stix}{\int Q(f)=\frac{f{eq-}f}\tau}$

Boltzmann Denklemi’nin BGK modeline indirgenmesi ise şöyledir:

$\style{font-family:stix}{\frac{\partial f}{\partial t}+\frac pm\cdot\nabla f+F\cdot\frac{\partial f}{\partial p}=(f_0-f)}$

Bu model, pratik uygulamalarda kullanıldığında kompleks çarpışma terimlerinin çözüm sürecini hızlandırmak amacıyla kullanılmaktadır.

Sonuç

Boltzmann Denklemi, termodinamik sistemlerin karmaşık davranışlarını anlamak için kullanılan ve termodinamik sistemler için önemli bir denklem sistemi olarak karşımıza çıkmaktadır. Bu makalede serbest ve kuvvet altında olmak üzere iki ölçekte Boltzmann Denklemi aynı zamanda H-teoremi, Liouville teoremi, Vlasov Denklemi ve Bhatnagar-Gross-Krook teoremi gibi konuları ele alıp bunları cebirsel olarak izah etmeye çalıştık.

Kaynakça

Harris, S. (2004). An introduction to the theory of the Boltzmann equation. Courier Corporation.

Gressman, P. T., & Strain, R. M. (2010). Global classical solutions of the Boltzmann equation with long-range interactions. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 107(13), 5744–5749. [https://doi.org/10.1073/pnas.1001185107]

Bhatnagar, P. L., Gross, E. P., & Krook, M. (1954). A model for collision processes in gases. i. Small amplitude processes in charged and neutral One-Component systems. Physical Review, 94(3), 511–525. [https://doi.org/10.1103/physrev.94.511]

Wikipedia contributors. (2024, January 27). Boltzmann equation. Wikipedia. [https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_equation]

Dubois, J., Ouanounou, G., & Rouzaire‐Dubois, B. (2009). The Boltzmann equation in molecular biology. Progress in Biophysics & Molecular Biology, 99(2–3), 87–93. [https://doi.org/10.1016/j.pbiomolbio.2009.07.001]

Görüntülenme 164

Deha Kaykı

Ben Deha Kaykı. Sapiens Medya’nın ortak kuruculuğunu yürütmekte ve Evrim Ağacı platformunda yazarlık yapmaktayım. Ekoloji, evrimsel biyoloji, biyoteknoloji, genetik, omurgalı paleontolojisi ve modern fizik başlıca ilgilendiğim disiplinlerdir. Bunlarla birlikte özellikle Stoacılık ve Helenistik felsefe ekolleri ile de ilgilenmekteyim. Aynı zamanda Prof. Dr. Nihat Berker’in verdiği kuantum mekaniğe giriş dersini üstün başarı ile tamamlayarak Sayın Berker’in referansını kazandım. Evrim Ağacı ile birlikte “De-extinction” terimini “Türdiriltimi”, "Un-extinction" "Nesli döndürme" olarak Türkçeye çevirmiş ve literatüre kazandırmış bulunmaktayım.

Sapiens Medya

Boltzmann Denklemi: Termodinamik Sistemlerin Dinamiği

Boltzmann Denklemi ve Genel Özellikleri